El axioma más controvertido de las matemáticas cumple un siglo
ZFC es el sistema de 10 axiomas que sustenta casi todas las matemáticas modernas, pero su adopción no fue sencilla y sigue generando debate.
La búsqueda de unas reglas comunes
A finales del siglo XIX, los matemáticos buscaban un conjunto de reglas unificadas para todas las áreas. Georg Cantor propuso la teoría de conjuntos como solución, pero su falta de reglas generó paradojas como la de Russell. Ernst Zermelo introdujo el axioma de elección en 1904 para demostrar el principio de buen orden de Cantor, lo que generó controversia porque el axioma define conjuntos sin construir sus elementos.
Zermelo-Fraenkel y la duda sobre la consistencia
En 1930, Zermelo publicó su lista definitiva de axiomas, conocida como ZF, que eliminaba paradojas como la de Russell. Sin embargo, Kurt Gödel demostró que ningún sistema axiomático con aritmética básica puede probar su propia consistencia. Paul Cohen probó en los años 60 que el axioma de elección es independiente de los demás: no se puede demostrar ni verdadero ni falso bajo ZF.
La utilidad como criterio de aceptación
Ante la imposibilidad de validar el axioma de elección por la lógica, los matemáticos valoraron su utilidad. El axioma permite demostrar muchos teoremas, especialmente sobre objetos infinitos. “Sin elección, las herramientas son muy limitadas”, afirma Joan Bagaria, de la Universidad de Barcelona. Por ello, el axioma de elección se añadió al sistema, dando lugar a ZFC.
El origen: una respuesta a las paradojas de Cantor
En 1883, Cantor presentó el principio de buen orden, que afirmaba que todo conjunto puede ordenarse de modo que cualquier subconjunto tenga un elemento mínimo. Zermelo demostró este principio en 1904 usando el axioma de elección, y desarrolló los demás axiomas para respaldar su prueba.
La paradoja final de los axiomas
Los axiomas ZFC son considerados verdades universales y sólidas, pero su aceptación no se basa en ser evidentes, sino en su poder para generar teoremas. La filósofa Penelope Maddy señala que “cualquier examen honesto de cómo se adoptaron los axiomas reconoce que intervinieron muchas consideraciones matemáticas”. Las bases de las matemáticas son universales, pero siguen siendo una elección.
