Matemáticos crean un ‘código QR’ para distinguir nudos con hasta 300 cruces

Un nuevo invariante de nudos, calculable para nudos con hasta 300 cruces, permite distinguirlos con una efectividad superior al 97% para nudos de 18 cruces. Dror Bar-Natan y Roland van der Veen desarrollaron esta herramienta, que combina potencia y facilidad de cálculo.

Un telescopio para la teoría de nudos

El invariante genera un polinomio en dos variables que, representado gráficamente, produce un código QR hexagonal único para cada nudo. Si dos nudos tienen códigos diferentes, son matemáticamente distintos. La herramienta es fácil de calcular incluso para nudos complejos, un avance que Gil Kalai compara con «un nuevo tipo de telescopio».

Superando la dicotomía clásica

Los invariantes previos, como el polinomio de Alexander o el polinomio de Jones, obligaban a elegir entre potencia y capacidad de cálculo. Daniel Tubbenhauer señala que la mayoría son «o muy fuertes pero imposibles de calcular, o fáciles de calcular pero muy débiles». El nuevo método resuelve esta limitación.

Origen en una analogía de tráfico

El desarrollo partió de generalizar el cálculo del polinomio de Alexander mediante una analogía con coches en una autopista de un solo sentido. Bar-Natan y van der Veen extendieron el modelo a dos tipos de vehículos que pueden fusionarse y separarse, inspirados en la física de partículas. «En cierto sentido, lo improvisamos», admitió van der Veen sobre el ajuste final de la fórmula.

Repercusión y aplicaciones futuras

Los investigadores confían en que su invariante es equivalente al polinomio de dos bucles, una aproximación al poderoso pero incalculable integral de Kontsevich. En un apartado titulado «Historias, conjeturas y sueños», proponen que el código QR ayudará a elucidar características topológicas, como el género del nudo. Zsuzsanna Dancso destaca que esto mejoraría el cálculo del género de nudos grandes.

Una puerta abierta a un zoo de invariantes

El trabajo sienta las bases para desarrollar invariantes aún más potentes añadiendo más «coches» y variables al modelo, capturando más información del integral de Kontsevich. «Hay todo un zoo de cosas similares esperándonos», afirma van der Veen. La comunidad investiga ahora una explicación más simple para una construcción que consideran compleja.